SVD, 목표로 삼지 않아도 저절로 유도된다

선형대수의 꽃이라 불리는 특이값 분해(SVD)를 공식 암기가 아니라 '자연스러운 질문의 결과물'로 재발견하는 글입니다. 핵심 아이디어는 이렇습니다. 어떤 행렬이 공간을 어떻게 늘이고 회전시키는지 묻다 보면, 단위 구(球)를 타원으로 바꾸는 방향들을 찾게 되고, 그 과정에서 직교하는 입력 기저와 출력 기저, 그리고 늘어나는 배율이 자연히 떨어져 나옵니다. 결국 A = UΣVᵀ라는 형태를 애초에 겨냥하지 않았는데도 손에 쥐게 되는 것이죠. 저자가 강조하는 통찰은 두 가지입니다. 첫째, 수학의 큰 결과는 대개 '무엇을 최대로 늘이는 방향은?' 같은 소박한 질문을 끝까지 밀어붙인 부산물이라는 것. 둘째, AᵀA의 고유벡터·대칭성·직교성 같은 개념들이 서로 촘촘히 연결돼 있어 하나를 따라가면 나머지가 딸려 온다는 것입니다. 머신러닝의 차원 축소, 추천 시스템, 데이터 압축 뒤에 있는 SVD를 '왜 그렇게 생겼는지' 이해하고 싶은 개발자에게, 공식보다 직관을 주는 관점 전환을 제안하는 글입니다.